Dalle idee antiche al concetto di infinito
in matematica
PATRIZIO
PERRELLA & GIUSEPPE PERRELLA
NOTE E NOTIZIE - Anno XIX – 17 settembre
2022.
Testi
pubblicati sul sito www.brainmindlife.org della Società Nazionale di
Neuroscienze “Brain, Mind & Life - Italia” (BM&L-Italia). Oltre a notizie
o commenti relativi a fatti ed eventi rilevanti per la Società, la sezione
“note e notizie” presenta settimanalmente lavori neuroscientifici selezionati
fra quelli pubblicati o in corso di pubblicazione sulle maggiori riviste e il
cui argomento è oggetto di studio dei soci componenti lo staff dei recensori della Commissione
Scientifica della Società.
[Tipologia del testo: SAGGIO]
La chiarificazione definitiva della natura dell’infinito
[…]
è
necessaria per la dignità stessa dell’intelletto umano.
[David Hilbert, Sull’infinito, 1925]
1. Cosa
rappresenta per noi l’infinito e perché vale la pena occuparsene. Cos’è per
noi l’infinito? Un’astrazione dell’intelletto, un’aspirazione dell’animo, un
desiderio di immortalità o solo il ricordo di una sensazione provata nell’immergersi
e spaziare con lo sguardo in una scena naturale illuminata fino a perdita d’occhio
o nell’esplorare di notte un cielo stellato? O, forse, l’atmosfera dell’idillio
leopardiano, in cui ci siamo immersi sui banchi di scuola, col potere evocativo
del suo linguaggio neo-spinoziano sapientemente scandito su un ritmo interiore,
contemplativo e intenso, intimo e universale allo stesso tempo. Per qualcuno
rimane solo un simbolo a forma di otto disposto in orizzontale, magari preceduto
da un più o da un meno in esercizi di matematica, ma per altri è
parte di momenti personali di riflessione su quel concepibile che va oltre ogni
possibilità di esperienza.
Indipendentemente dal punto di partenza di ciascuno –
compreso quello ipotetico di chi non abbia mai pensato all’infinito –
desideriamo invitare i lettori a seguirci in un percorso sull’argomento, compiuto
attraverso nozioni sintetiche, tracce di esperienze culturali, riflessioni
sulla stessa formazione del concetto e, soprattutto, sul suo impiego nell’orizzonte
del mathema contemporaneo.
Abbiamo preso le mosse dalle ragioni di un’evidenza:
da argomento di tradizionale cimento filosofico, fin dall’antichità classica, l’infinito
ai nostri giorni sembra essere diventato di esclusiva pertinenza matematica,
per effetto di un’evoluzione che si è compiuta nel corso del Novecento[1]. Comprendere,
o almeno cercare di analizzare, qualcuno dei motivi di questo cambiamento avvenuto
dopo oltre due millenni, al di là del semplice riconoscimento della tendenza
negli anni recenti alla compartimentazione del pensiero in domini specialistici,
può aiutare a rendersi conto delle mutate esigenze psicologiche all’origine
della tensione conoscitiva e del mutato atteggiamento mentale nei confronti dei
grandi interrogativi dell’umanità.
Intanto, per introdurci al concetto di infinito
in filosofia, così come è stato trattato fino a prima di diventare oggetto di
esclusiva pertinenza matematica, adottiamo la sintesi di un dizionario enciclopedico,
che rileva l’identità di principio di natura metafisica all’origine di ogni
cosa: “Il principio metafisico, non limitato da alcun termine di spazio e di
tempo, senza alcuna determinazione finita, principio che è matrice di ogni
oggetto particolare, ma non si esaurisce o identifica compiutamente in alcuno
di essi: principio variamente affermato o negato nel corso della storia della filosofia,
anche in relazione ai concetti analoghi di perfezione e assoluto.
Identificato con Dio, con l’universo sensibile inteso in senso panteistico, con
la sostanza stessa dello spirito pensante” (Sansoni)[2].
Fino a metà del XX secolo ha prevalso dunque una
concezione di infinito metafisico, ma non era stato così nella Grecia antica,
quando filosofi matematici quali Parmenide, Zenone e Democrito già impiegavano per
utilità pratica il concetto di infinito come sinonimo di operazione di
determinazione “senza fine”, nel considerare le figure geometriche costituite
da una quantità infinita di elementi[3].
La questione della divisione di una grandezza,
legata ai fondamenti della matematica, nacque con i pitagorici e contribuì alla
costituzione di una radice concettuale forte del valore semantico conservato in
tutte le lingue moderne per il termine “infinito”. In realtà, in quell’epoca si
era già andata costituendo una “matematica dell’infinito”, ossia una scienza di
questo concetto al limite del pensabile in grado di consentire a Eudosso
e Archimede di risolvere il problema della divisione di una grandezza,
guadagnandosi l’appellativo di padri del calcolo infinitesimale conferito loro
dai moderni.
In questo ambito di esercizio della cognizione, il problema
del continuo o dell’infinita divisibilità di una retta è risolto
mediante la teoria delle proporzioni o assioma di Archimede[4] che, nella
sua versione eudossiana, costituisce la base del
moderno concetto di numero[5].
L’infinito, considerato da molti come il “Santo
Graal della Matematica”, ha avuto nel secolo scorso anche una sorta di mitizzazione
letteraria, in cui fra l’altro si sosteneva che chiunque si fosse avvicinato
alla soluzione del suo mistero sarebbe stato colto da sventura; e così si disse
che Georg Cantor avesse perso la ragione per i suoi studi, seguendo la fola di
sottocultura popolare secondo cui si impazzisca per il “troppo pensare”[6].
Sapere qualcosa dell’infinito in matematica aiuta
molto a capire la filosofia contemporanea e molti approdi del pensiero teorico
dei nostri giorni, perché l’esercizio logico imposto dalla necessità di gestire
in modo rigoroso questo concetto ha fornito modelli di ragionamento a filosofi
e pensatori delle più varie estrazioni culturali. Inoltre, può aiutare anche a
comprendere i modi, le origini, le caratteristiche e i limiti degli atteggiamenti
mentali presenti nella maggior parte delle persone; una maggioranza che sembra seguire
mode, stereotipi e tendenze collettive quando non è costretta da bisogni
personali ad assumere posizioni definite, e, in ogni caso, non sembra deliberare
per effetto di una riflessione derivante da un ragionamento su una propria
visione del mondo. Infatti, per rendersi conto di alcune tendenze inconsapevoli
o bias e delle abitudini di pensiero assunte acriticamente, non è sufficiente
seguire meta-ragionamenti su qualche tesi filosofica, ma è necessario esercitare
attivamente la propria intelligenza su concetti fondamentali, paradigmatici o
essenziali, perché l’analisi del loro senso d’uso spesso rivela alla coscienza
i modi seguiti dal nostro pensiero. Uno di questi concetti è senz’altro quello
di infinito[7].
2. Concepire
l’inconoscibile: i processi mentali intorno all’idea di infinito. Una
delle origini del nostro interesse è costituita dai processi mentali compiuti
dall’uomo intorno all’idea di infinito: un cimento particolare, a nostro
avviso, perché si colloca al limite tra ciò che la nostra mente può concepire e
ciò che riteniamo non possa concepire, perché non si riesce a ricondurre ad alcuna
astrazione familiare o parametro di esperienza. Infinito è propriamente
qualcosa che non ha fine e, così dicendo, pur se immediatamente richiamiamo
alla mente di chi ci ascolta uno spazio di cui non si vede il limite, implichiamo
una dimensione temporale, in quanto per figurarsi qualcosa che non
finisce o dobbiamo far ricorso a un movimento immaginario di esplorazione percettiva
di durata illimitata – e tale è perché non trova mai la fine – o, invece di
immaginare lo spostamento con la mente del soggetto esplorante, possiamo
figurarci qualcosa che, indipendentemente dall’osservatore, continui nel tempo
per sempre, come esistenza o come moto.
L’infinito quale concetto va oltre l’astrazione del
limite: io posso concepire qualcosa che non ha limite, anche se questo
illimitato, che posso menzionare e figurare nella dimensione dell’immaginazione,
nella sua attualità non potrebbe essere esperito dai miei sensi, perché non potrebbe
entrare nella mia realtà fisica di materia biologica limitata per quantità
nello spazio e per durata nel tempo.
Abbiamo parole specifiche per designare particolari modi
di essere temporalmente infinito, ad esempio definiamo interminabile qualcosa
che procede o continua indefinitamente, e chiamiamo eterno ciò che ci
sarà per sempre, soprattutto se c’è sempre stato.
L’origine dei concetti in termini neurofunzionali è
stata studiata e analizzata approfonditamente negli ultimi decenni e spiegata
in via ipotetica da interessanti teorie, prima fra tutte quella di Gerald Edelman,
ma qui non vogliamo addentrarci nel problema delle basi neurobiologiche della
cognizione umana o considerare i processi neuronici cerebrali sottostanti l’ideazione,
ma limitarci ai contenuti di quell’esercizio mentale governato dalla riflessione
consapevole che consente l’entrata dei concetti nella coscienza individuale e
collettiva.
Siamo affascinati dall’idea di ciò che poteva accadere
nella mente dei nostri progenitori ancestrali, quando ancora non esistevano
parole per dire “infinito”. Immaginiamo uno di loro su una costa o una spiaggia,
davanti alla scena naturale del mare che si perde all’orizzonte nel cielo in
cui splende il sole; ce lo figuriamo volgere intorno lo sguardo e scorgere il
limite prossimo della riva e quello distante, dove termina la superficie dell’acqua,
e poi ruotare il capo per avere visione di tutta la volta celeste e notare che
è illimitata.
Se quadri di esperienza simili hanno avuto realmente
importanza nella formazione delle prime tracce mentali, allora è ragionevole
supporre che solo il cielo possa aver costituito il prototipo dell’immenso
senza fine; ma è altrettanto plausibile che altre tracce mnemoniche, quali
quelle associate alla lontananza estrema e indistinta o all’indeterminabilità di
limiti e confini, possano esservi state associate nella mente fin dall’inizio.
In proposito, può aiutarci una riflessione antropologica.
Studi paleoantropologici hanno desunto per varie specie di ominidi protoumani
un’attività locomotoria quotidiana di decine di km, verosimilmente legata alla loro
attività di cacciatori-raccoglitori, ma anche indice di un rapporto di
conoscenza deambulatoria col territorio. L’attività cerebrale prevalente era
legata al controllo psicomotorio e alla percezione in movimento, pertanto questi
progenitori dovevano essere molto più “dinamicamente esecutivi” di quanto possiamo
immaginare oggi, noi abituati ad essere serviti dalle nostre comode tecnologie.
Ad esempio, per noi misurare una distanza vuol dire riportare in un codice
numerico la lunghezza di un percorso; per un primitivo voleva dire conoscere
per esperienza la durata di un cammino o il raggio di un lancio di pietra.
Trovarsi di fronte una radura o un bosco voleva dire
attraversarli di corsa, essere al cospetto di un monte voleva dire
arrampicarvisi e, se troppo alto o difficile da scalare, rinunciare lasciando
indefinita l’esperienza di conoscenza misurativa, magari consentendo il formarsi
di una traccia di memoria in cui “lontano”, “sospeso”, “indefinito” o “difficile
da raggiungere” confluivano in una stessa area. Per i primitivi, prefigurarsi
cosa ci fosse al di là di un lago, di un fiume o di un colle, non doveva essere
la prima istanza dell’agire mentale, ma solo la conseguenza dell’impossibilità
di saperlo andandoci subito di persona.
Immaginiamo quindi
la nascita delle idee matrici di concetti dall’esperienza primordiale
dell’uomo immerso nella realtà naturale: un ipotetico inizio, in realtà inesistente
in quanto tale, che si può fissare solo per convenzione immaginaria in un tempo
ideale, modello di quello che ha avuto luogo miriadi di volte nella mente di
ciascun individuo. E, se assumiamo la prospettiva della neurobiologia evoluzionistica,
dobbiamo supporre che la traccia neuronica di tali memorie del nostro cervello
sia derivata da quella degli animali che ci hanno preceduto nella filogenesi.
Dunque, nel risalire alla nascita di tali idee, non pretendiamo di riconoscere
un autentico inizio, ma ci accontentiamo di cogliere, nel nodo che ha legato esperienza
e conoscenza nei primordi naturali, un processo mentale paradigmatico.
L’infinito, in questo senso, coinciderebbe con ciò
che si smette di cercare di definire per mancanza del modo e del tempo necessari
a compiere questo atto di conoscenza.
Possiamo anche giungere a ritenere che non esista
qualcosa che non abbia limiti in assoluto, e dunque che l’infinito non esista
nella realtà ma solo nella nostra mente. In questo caso la nozione di infinito
non sarebbe altro che un caso ideale della più generale categoria dell’indefinito.
3. Breve
spunto sul concetto di indefinito in rapporto a quello di infinito. Accettando
l’ipotesi di una matrice di senso originaria comune ai due concetti di indefinito
e infinito, può essere utile una breve riflessione a partire da quel
valore semantico riportato nelle opere lessicografiche per il termine indefinito,
che ne costituisce il senso presente alla coscienza comune attraverso la trasmissione
culturale e la comunicazione.
Indefinito come aggettivo
è non determinato da confini certi; e si dice di spazio, di tempo, di quantità
(Palazzi), oppure non determinato entro certi confini (Sansoni); in maggiore
dettaglio si legge: non definito, detto di fatti o situazioni su cui non è
stato dato un giudizio definitivo: la questione, la vertenza resta indefinita.
Più spesso, di cosa non determinata nei suoi limiti precisi o nelle sue qualità
(Treccani).
In grammatica il pronome indefinito non determina la
persona: chi, qualcuno, chiunque. Dunque, in grammatica l’indefinito
designa ma non determina. In matematica[8] si può
cogliere l’uso del concetto di indefinito secondo il valore semantico di
“non finito”, che non distingue una fine non determinata da una fine non conoscibile,
ad esempio nel caso di solidi che si ottengono da quelli elementari convenzionali,
come un prisma o una piramide, cui si prolunghino all’infinito gli spigoli o le
facce laterali, così che diventino un prisma indefinito o una piramide
indefinita.
Quest’ultima accezione ci riporta a quella ipotetica
matrice del concetto di infinito che è l’esperienza del non determinato in
quanto non conosciuto, come un luogo ignoto perché mai raggiunto da un viaggio
e, di fatto, coincidente con l’inesplorato. In altri termini, la
dimensione di concettualizzazione originaria deve essere stata una memoria di
senso grezza e generale da cui “non conosciuto” e “non conoscibile”, così come indefinito
e infinito, hanno tratto origine.
L’indefinito può anche essere inteso come incerto,
incompiuto. Anche se è opportuno ricordare che in molti casi concreti si
appella “indefinito” un oggetto, non solo e non tanto perché ci appare incompiuto
o perché lo riteniamo intermedio fra classi note, ma perché manchiamo della conoscenza
necessaria e sufficiente a definirlo.
In termini di atteggiamento psicologico si possono
considerare due approcci al significato: negativo e positivo. Se l’esperienza che
ha attivato l’interesse o l’attenzione è di carattere negativo, il soggetto
considera l’essere indefinito come espressione di un difetto (defectus), una mancanza. Se il presupposto
mentale è positivo, il soggetto considera l’essere indefinito come espressione
di una qualità superiore a quella di ciò che è definito e circoscritto e, dunque,
qualcosa di più, come l’infinito rispetto al finito[9].
In realtà il finito, inteso come compiuto, conosciuto
e definito, è un concetto storicamente legato a quello di misura: la stima
dimensionale conferisce un tratto distintivo e un elemento incontrovertibile
per delimitare qualcosa in modo certo, e solo per ciò che sfugge a questo giudizio,
in qualità di eccezione, gli antichi prevedevano la qualità di smisurato.
4. La cultura classica fondata sulla
pratica della misura lascia poco spazio allo smisurato e associa il divino al molteplice. Si suole dire che i Greci ebbero nella misura
la loro cifra[10]: la metis platonica, quale risorsa ineguagliabile
per la ragione e chiave essenziale di armonia per l’estetica, esprime e rappresenta
in modo esemplare la vetta culturale di quella civiltà. I Greci hanno
dimostrato per secoli che l’uomo è capace di misura, e questa non è una virtù
di pochi saggi e artisti sublimi, ma è un atteggiamento dell’intelletto che si
traduce in una pragmatica di vita che può essere evocata in tutti, con l’esempio,
fin dall’infanzia.
È
interessante notare che l’esercizio della misura non è una semplice pratica
dell’agire, ma un modo di essere che tutela la propria forma; oggi diremmo
che contribuisce all’equilibrio psico-fisico e aiuta a essere sé stessi anche
nelle circostanze disarmoniche che indurrebbero la perdita della misura.
Aristotele in proposito insegna che se ogni proairesis,
ossia ogni decisione, è ispirata dalla phronesis, o saggia prudenza,
consente all’uomo di trovare ogni volta il giusto mezzo, mesotēs, per non tradire sé stessi o la ragione[11].
La misura
è anche un criterio di giudizio, consistente nel riportare a un calibro,
e per questo a ragione, fenomeni, fatti e comportamenti di uomini e dei.
Si legge
che l’infinito per i Greci era posto nella natura, ma a ben guardare si tratta
di un concetto molto diverso da quello moderno: la phusis o physis,
in continuo divenire, origina dal chaos, prima
del quale vi sono le nebbie di tracce mitiche eterogenee e contraddittorie, che
denunciano la mancanza di appigli di conoscenza per l’esercizio della fantasia
creativa e rimandano l’infinito a un “non ancora definito”. Il concetto moderno,
strettamente connesso con quello di assoluto, sembra risentire di qualche
millennio di esperienza religiosa monoteista.
Per cercare
di comprendere la matrice di senso in cui si colloca l’infinito dei Greci, dal
quale derivano le concezioni matematiche opposte all’idea dell’unico assoluto,
possiamo attingere agli studi di Dodds che, nel saggio I Greci e l’irrazionale,
vera pietra miliare per l’analisi antropologica dei classici, ha dimostrato
come la civiltà greca nel suo complesso emerga da una lotta mai conclusa con l’indeterminabile[12].
La condizione
stessa della natura o phusis evidenzia questa realtà: proviene dall’indefinito
del chaos e persiste nelle metamorfosi
inesauribili di zoe, ossia la vita che si
perpetua per un tempo inconoscibile da parte dell’uomo, che può interpretarne
solo un piccolo segmento, costituito dal bios della sua esistenza[13]. L’analisi linguistica ci rende conto di come la
natura sia stata sempre concettualmente legata all’essere, in quanto
dalla radice sanscrita bhu-, bhavati originano tanto il greco phusis quanto
il latino fui, perfetto di esse[14].
Il chaos è origine dell’essere e di ogni altra
cosa, ma l’esperienza che ha dato luogo alla sua formulazione concettuale si
comprende meglio studiando il collegamento semantico del vocabolo greco ai
verbi chascō, chainō,
che significano “mi apro, mi spalanco”. Si ritiene, infatti, che la parola chaos non designi lo stato materiale della realtà
che ha preceduto l’epoca dell’esperienza umana, ma si riferisca in modo
figurato all’aprirsi della scena dell’origine allo sguardo metaforico
della mente. Anche se non si può ragionevolmente escludere che il valore
semantico di “apertura” alluda all’essere aperto a tutte le possibilità di
differenziazione della materia.
Il chaos greco è, di certo, più fusione che confusione,
ossia ha più a che fare con l’indifferenziato che col disordinato.
Il chaos non è dunque un approdo conoscitivo, ma un
concetto consapevolmente riferito al tentativo della mente di figurarsi lo
stato embrionario dell’esistente.
L’indefinito
dell’origine non ha tuttavia avuto presso i Greci la rappresentazione primaria
di un magma caotico ma, come si legge nel racconto di Diogene Laerzio, l’influente
teoria del protofilosofo Talete considera “l’acqua
principio di tutto e il mondo animato e pieno di dei”[15]. Salvatore Natoli chiarisce con queste parole: “Per
Talete, dunque, principio di tutto sarebbe l’acqua e non quella che scorre per
terre e continenti, né il mare che li circonda, ma l’acqua ‘primordiale’ da cui
germinano tutte le cose. Un’acqua originaria che impropriamente possiamo anche
chiamare Dio, ma che quelli che ‘per primi filosofarono’ chiamarono phusis:
natura”[16].
Il mezzo
liquido primordiale, evidente figura della fluidità, secondo Talete era
popolato di dei, ossia di potenze individuate, indipendenti e molteplici. Non
si tratta di un’intuizione o di un’invenzione del protofilosofo,
ma dell’interpretazione di una concezione diffusa, nella quale possiamo
riconoscere una radice psicoantropologica, costituita
dalla tendenza a credere nell’esistenza di una pluralità di forze degne di
personificazione[17].
Senza
addentrarci nel mare magnum delle questioni relative alla creazione
mitologica delle divinità, ricordiamo che gli dei personificavano potenze della
natura, poteri della mente e poi, sempre più, consistevano nella deificazione
di persone con qualità eccezionali che in vita avevano gestito qualche forma di
potere. Il divino era associato in modo radicato alle potenze innumerevoli di
Talete. In proposito, Blumenberg fa un’osservazione suggestiva: quando San
Paolo si reca ad Atene per annunciare il Vangelo, l’ara dell’Areopago davanti
alla quale pronuncia il suo celebre discorso[18] non è dedicata a Dio, ancora ignoto ai Greci, ma a “un
dio ignoto”, uno degli innumerevoli dei che aleggiano sulla realtà umana[19]. Nel mondo tardoantico, come osserva Norden, non
era difficile incontrare altari dedicati a ignotiis
diis, ossia a dei ignoti[20].
La
tendenza psicologica ancestrale a credere in una pluralità di potenze sovrumane
cui potersi rivolgere nelle necessità della vita, si può riconoscere anche nell’interpretazione
popolare idolatra del culto dei santi, spesso eletti dai popoli a sostituti dei
numi tutelari che, a loro volta, avevano sostituito arcaiche divinità delle
culture di sostrato.
Stabilito
che gli dei pagani sono per definizione numerosi e ciascuno di essi, essendo
tutti immortali, presenta il requisito di infinito circa il tempo di esistenza,
possiamo ritornare al confronto tra aspetti della visione greca e
giudaico-cristiana della realtà.
5. L’infinito è un assoluto che si
identifica con Dio nella cultura ebraico-cristiana. Per i Greci la natura è solo in parte conosciuta
perché conoscerla richiede una grande volontà, necessaria alla paziente osservazione,
e un’acuta intelligenza, quale quella di Archimede, indispensabile per dedurre
le leggi dai fenomeni. Lo smisurato della phusis è condizione di cimento
per l’uomo e spesso richiede forza, coraggio, acume, conoscenza, scaltrezza e
perseveranza per essere ricondotto a misura, ma, anche quando si fallisce nell’impresa,
si è certi che prima o poi si riuscirà. Conoscere la natura e trovarne di volta
in volta la misura è compito arduo ma possibile.
Impossibile,
invece, per il credente ebreo e cristiano conoscere gli abissi insondabili della
realtà divina.
Per il
pagano la ragione è solo dell’uomo: conoscere la natura vuol dire riportarla a ragione,
ossia a misura d’uomo. Al contrario, per il credente l’intelletto e la
libera volontà sono di Dio e hanno un riflesso nell’uomo fatto a immagine e somiglianza
del suo Creatore; la natura non è altro che il creato e ha in sé come
leggi delle emanazioni di senso dello Spirito di Dio, il Fedele per eccellenza
nella sua divina coerenza assoluta, fondamento di certezza per l’intelletto
di chi ha fede, ossia per il credente, quale era Albert Einstein, che spiegò la
sua eccezionale capacità di scoperta con la celebre frase: “Dio non gioca a dadi”.
La
visione del credente si desume facilmente dalla formula di Sant’Agostino, che
esprime in una sintesi di rara efficacia l’atto creativo come Verbo che compie
la volontà del Padre: dixisti et facta sunt[21], e ci fa supporre che l’universo sia conoscibile in
quanto opera finita del Creatore infinito, concepita secondo criteri di ragione
divina impressi nella mente dell’unica creatura suscitata dalla terra per la
vita nello spirito immortale.
La
decifrabilità del creato o natura per il credente è dovuta al
fatto che il suo senso e quello dell’intelletto umano che ne è parte, hanno
in Dio una radice comune. La decifrabilità, non è superfluo sottolinearlo, è
tenuta distinta nella concezione ebraico-cristiana dall’assoluto del senso quale
valore insondabile della divinità.
La
comparsa di Javé (JHWH) nella coscienza e nella
storia dell’umanità ha proprio questo inestimabile e incomparabile valore:
conferisce senso a tutto. Il creato quale esito di una decisione esiste come progetto
divino nel quale ha senso ogni istante della vita di ciascuno, ogni moto delle
più minuscole particelle subatomiche, ogni più piccola transizione energetica,
al pari della durata dell’intero universo. Il finito dell’uomo e di tutto
il creato ha senso nell’infinito di Dio.
Si può
essere all’interno di questo senso e goderne i benefici a patto che si
riconosca la nostra intelligenza quale puntiforme riflesso dell’incommensurabile
Spirito divino; se, al contrario, si ritiene il proprio intelletto in grado di misurare,
valutare e giudicare Dio, stabilendo con dei ragionamenti se esista o meno, si è
fuori da questo senso.
Per gli
atei[22], Dio è la più grande invenzione di potere dell’ordine
simbolico nel registro dell’immaginario; per i credenti è verità rivelata.
Indipendentemente dalla sua reale natura di prodotto della mente umana o di
Creatore dal nulla di tutta l’energia e la materia universalmente esistente, compresa
la dimensione mentale del nostro cervello, è postulato come eterno, onnipotente,
onnisciente e onnipresente, ovvero illimitato o infinito
rispetto a ogni categoria dimensionale del giudizio umano. Se consideriamo che
Dio non ha bisogno del processo umano di conoscenza, consistente nel portare all’intelletto
gli elementi da sapere, in quanto conosce per diretta appartenenza, possiamo
identificare tra loro i requisiti di onniscienza e onnipresenza. E, soprattutto,
possiamo considerare tutta la realtà universale inscritta nell’infinito della
sua esistenza e del suo potere.
Il Dio giudaico-cristiano è
concepito come entità identitaria e non come valore diffuso,
quale è la divinità nel panteismo, e risponde infatti a un’identità unica sotto
ogni aspetto e declinata dai cristiani nelle tre Persone uguali e distinte del
Padre, del Figliuolo e dello Spirito Santo, identificate in un’unica volontà. Questo
connotato identitario pone immediatamente una questione di necessità:
tutto ciò che costituisce la divinità deve essere parte di una continuità.
È vero che
si tratta di un vincolo logico, e infatti i tratti e i caratteri non possono
essere che aspetti di un tutt’uno coeso nel tempo e nello spazio, ma il requisito
di continuità trova coerente rispondenza nella dottrina della Chiesa Cattolica,
che stabilisce la continuità delle anime salve con lo Spirito di Dio nella Comunione
dei Santi: la continuità con l’essenza divina, con la sua identità, garantisce
l’appartenenza alla vita eterna, ossia all’infinito della vita.
L’incommensurabilità
di Dio, ossia il suo essere infinito che non può ridursi a concetto umano, è conditio
sine qua non per il suo riconoscimento: se si discetta o si disputa dell’Altissimo
come se fosse un oggetto mentale definito e determinato, si sta parlando di
qualcosa d’altro; nominare il nome di Dio invano consiste proprio nel disconoscerne
la divinità ed è grave peccato in quanto è un agire che implica la trasgressione
anche del primo comandamento[23]. Se si è credenti e si riconosce il Dio di Abramo,
padre delle tre fedi monoteiste, la naturale conseguenza è la sottomissione del
proprio intelletto all’Ente supremo: Islam vuol dire proprio “sottomissione
a Dio”, ma la forma che questo riconoscimento assume in termini di requisito di
coscienza nella tradizione cristiana si apprezza da un racconto sotto
forma di exemplum attribuito a Sant’Agostino[24]. Il santo di Ippona era in riva al mare a meditare
sul mistero della Trinità, quando vide un bambino che, con una conchiglia, prendeva
acqua dal mare e la versava in una piccola buca; alla domanda di Agostino su
cosa stesse facendo, il bimbo rispose che voleva travasare il mare nella sua
buca, suscitando il sorriso del santo, che spiegò come fosse impossibile condurre
a termine l’impresa. Ma il piccino divenne serio e, col tono di un adulto, gli
disse che allo stesso modo sarebbe stato impossibile far entrare nella sua piccola
mente il mistero della Santissima Trinità.
L’identità
angelica del pargolo nell’interpretazione tradizionale ha la forza di un
messaggio dal cielo: “Come pretendi di fare entrare l’incommensurabile di Dio
nella tua piccola mente? Riconosci i tuoi limiti di creatura e compi un atto di
umile sottomissione, accettando come mistero ciò che non puoi comprendere”. È
significativo che, nella prospettiva cristiana, la questione cruciale sia
costituita da una presa di coscienza.
In sintesi,
la phusis greca, per quanto smisurata, può essere ricondotta a ragione,
e gli dei, per quanto numerosi e immortali, sono enumerabili, conoscibili e
prevedibili nel loro antropomorfismo; al contrario, il Dio ebraico-cristiano è
l’Essere per eccellenza[25], illimitato in ogni sua qualità e irriducibile alla
dimensione dell’intelletto umano.
6. Ancora un breve confronto tra
concezione ebraico-cristiana e greco-pagana. Nella distinzione tra smisurato e incommensurabile
possiamo riconoscere la differenza più profonda tra la mente pagana e la mente
giudaico-cristiana. Lo smisurato della phusis indica una realtà che
risulta fuori portata per l’attualità dell’esperienza, ma nulla di più. L’incommensurabile
di Dio è verità rivelata e sancisce l’assoluta impossibilità dell’uomo di
ricondurre il suo mistero infinito a ratione definita.
Non molti
hanno presente che disponiamo di uno straordinario documento, rappresentato da
un testo che, scritto ad Alessandria d’Egitto tra la fine del II secolo e l’inizio
del I secolo a.C. con l’intento di dimostrare la superiorità della sapienza
ebraica sulla filosofia greca e la vita pagana, ci offre una possibilità unica
di confronto: è il libro della Sapienza della Bibbia.
L’autore,
un pio giudeo di lingua greca che scrive a nome del re Salomone vissuto ottocento
anni prima, spiega come le vie degli empi siano opposte a quelle della sapienza,
che è in sé una realtà divina con un ruolo provvidenziale nella salvezza di
Israele. La lettura del libro consente di dedurne le osservazioni che riportiamo
di seguito.
La prima
differenza paradigmatica fra Ebrei e Greci che emerge dal libro della Sapienza
si deduce dall’affermazione che Dio ha creato l’universo pondere
et mensura, che definisce la misura
prerogativa del Creatore e “coordinata divina” del creato, in opposizione al
pensiero greco che considera la misura cifra distintiva del saggio
impiego della ragione umana.
Nel mondo
greco-pagano vi sono tante filosofie quante sono le scuole filosofiche; per il
popolo ebraico vi è una sola religione; a fronte delle numerose divinità pagane
vi è l’unico Dio ebraico. Il giudizio greco-romano sull’uomo può seguire criteri
diversi, cui corrispondono tipologie umane, stili di vita o ruoli sociali, e
ognuno può eccellere in una particolare categoria di giudizio: ad esempio, l’areté
primeggia per abilità di ingegno e doti tecniche, l’estlos
per nobiltà di spirito e di condotta, l’agatos per valori morali
congiunti a doti e talenti.
Il giudizio
ebraico sull’uomo è scandito dal registro dicotomico saggio/stolto di
natura morale, declinato in funzione del compimento del volere divino. La
priorità assoluta del registro morale, esemplarmente resa dal libro della Sapienza,
si compirà poi nella formula cristiana che vede la massima espressione della
potenza divina nella sua infinita misericordia, considerata iscritta già nell’atto
creativo.
Mentre il
Greco apprezza la scaltrezza ingegnosa, ossia la metis di Ulisse, detto il
polumetis, capace di efficaci inganni ai danni di avversari in guerra e
in pace, e ne riconosce tutte le doti di eccellenza (areté), l’Ebreo
considera iniquo un uomo simile, che inganna e danneggia il prossimo a proprio
vantaggio, e lo condanna secondo una concezione morale affermatasi poi in tutta
Europa con il cristianesimo[26]. L’impiego raffinato, efficace o potente della ragione
e della logica, ammirato nel mondo classico, ha valore per gli Ebrei solo se posto
al servizio di Dio.
Questo
sintetico confronto culturale è sufficiente a comprendere che, mentre nel mondo
pagano sono possibili tante idee diverse di infinito e a tanti elementi
di esperienza si può riconoscere la qualità di non finito o non
definito nella conoscenza, per l’Ebreo l’infinito, unico per
definizione, è dimensione di certezza rivelata e ogni speculazione su questo
tema è un discorso su Dio.
7. Come si giunge all’approccio logico
e matematico contemporaneo: l’infinito in Kant. Per intitolare il secondo paragrafo abbiamo usato
la formula “concepire l’inconoscibile” per sottolineare che, mancando la possibilità
di diretta conoscenza empirica, l’idea di infinito si colloca al limite
di ciò che possiamo concepire. E per questa ragione abbiamo riletto le opere di
Immanuel Kant, il grande pensatore della filosofia del limite o ermeneutica
della finitudine, come la chiama Nicola Abbagnano nel saggio Le origini
storiche dell’esistenzialismo[27].
Il
filosofo di Königsberg nella sua ricerca tende a
stabilire, in ogni settore esistenziale, possibilità, validità e limiti,
impiegando lo strumento della “critica”, ossia del discernimento e della
ponderazione. Nella Critica della ragion pura afferma che, sebbene ogni
conoscenza cominci con l’esperienza, la conoscenza non deriva esclusivamente dall’esperienza[28]. E, nel prosieguo dei suoi studi, giunge a limitare
ulteriormente il valore preponderante della dimensione empirica, valicando i
limiti del sensismo illuministico e accogliendo le istanze proprie dell’idealismo
romantico. Cosa vuol dire? Per ciò che concerne l’infinito, vuol
dire che ne accetta lo studio ma, mancando una base di esperienza percettiva,
avverte che attraverso il metodo della speculazione non si potrà mai averne una
conoscenza scientifica.
Cerchiamo
di comprendere meglio i passi che conducono a questa determinazione.
Delle tre
facoltà umane annoverate nella Critica del Giudizio, ossia sensibilità,
intelletto e ragione, è proprio quest’ultima a dar luogo alla
conoscenza meno certa[29]. Infatti, mentre la sensibilità è vincolata
alla realtà percepita e l’intelletto tende a cooperare con la funzione
percettiva dei sensi, consentendo di ottenere conoscenza scientifica dall’esperienza
sensoriale[30], la ragione tende a svincolarsi dall’esperienza,
a trascendere il fenomeno e ad assurgere al metafisico. Ma questa tendenza
della ragione – che ne costituisce il principale limite – la porta a spingersi
nel noumenico.
Il noumeno
per Kant attiene alla “cosa in sé”, all’essenza pensabile ma inconoscibile
della realtà e, in quanto tale, contrapposta al fenomeno; e il filosofo afferma
che è “oggetto di intuizione non sensibile”[31]. Quindi il noumeno, inteso come ciò che
riteniamo esistente ma non conosciamo quale oggetto o fenomeno, costituisce un
limite della conoscenza umana.
L’infinito,
dunque, in quanto appartenente al noumeno si colloca al limite della
conoscenza e ne contrassegna il confine sensibile; ma non per questo Kant ne
scredita lo studio, anzi, come per il concetto di sublime matematico[32], il pensatore prussiano sostiene che si tratta di
qualità che risiedono nel nostro animo e, rivendicando la paternità della rivoluzione
che ha subordinato l’oggetto da conoscere al soggetto della conoscenza, ne
promuove lo studio. Inoltre, giustifica il desiderio di riflettere ed elaborare
in termini logici le tesi che riguardano l’infinito come esigenza della ragione
ad “essere soddisfatta in modo assoluto” e necessità per la funzione regolativa
delle idee[33].
Kant però
avverte: oltre il confine del noumeno non c’è conoscenza ma solo pensiero.
Direttamente
o indirettamente, questo monito deve aver raggiunto molti pensatori impegnati nelle
epoche successive a riflettere sul concetto di infinito. “Solo pensiero” può
voler dire fermarsi alla revisione degli approdi dogmatici del pensiero
religioso, oppure scegliere tra due opposte alternative: l’assenza totale di
vincoli immaginativi, col rischio di fantasticare, e l’affidarsi allo strumento
più rigoroso e potente per la logica e la ragione, ossia la matematica.
In
realtà, come aveva previsto Kant, la riflessione noumenica non ha portato nuova
conoscenza, e così il pensiero filosofico sull’infinito è andato estinguendosi,
cedendo il passo al rigore del mathema, che ha occupato il campo grazie
alla proficua applicazione di numerosi studiosi[34].
8. Come la Matematica definisce
l’infinito. Il modo più corretto per cercare una definizione di infinito in
Matematica è consultare un manuale di Algebra, ovvero di quella branca che,
secondo le impostazioni accademiche, è la più prossima allo studio dei
fondamenti della Matematica.
La prima cosa che potrebbe colpirci è che la
definizione è fornita in forma negativa:
Un insieme non finito è infinito[35].
Per ricavarne un’interpretazione concettuale è
quindi necessario consultare la definizione di insieme finito[36]:
Un insieme dicesi finito se
risulta o vuoto o equipotente a qualche [insieme]
{1, 2, …, n}.
Poiché
equipotente a {1, 2, …, n} significa che i suoi elementi possono essere
messi in corrispondenza biunivoca con i primi n numeri interi, la definizione
ci dice sostanzialmente che un insieme è finito se riusciamo a contarne gli
elementi e, precisazione non superflua, arrivati ad n (qualunque sia il suo
valore) il conteggio termina.
Di conseguenza un insieme è infinito se i suoi
elementi “non si possono contare” in un numero finito di passi.
Il
caso più semplice in cui accade ciò è quando consideriamo insiemi dei quali è
possibile enumerare gli elementi, quindi è possibile contarli, ma se provassimo
a farlo non arriveremmo mai alla fine. In altre parole, quando ci si trova di
fronte ad una enumerabilità interminabile.
È
questo il livello più semplice di infinito che la Matematica riconosce, e lo
denomina infinito numerabile.
L’insieme di tutti i numeri naturali {1, 2, …, n, …},
che per convenzione si indica con N, ne è appunto il prototipo.
Qualsiasi
insieme S equipotente[37] ad N è un infinito numerabile.
È infinito numerabile, ad esempio, l’insieme di tutti
i numeri pari perché per dirla in parole semplici, rinunciando alla precisione
del rigore formale, riusciamo a “contarli”, ma per farlo dobbiamo utilizzare
“tutto” N.
Naturalmente si potrebbero fare molti altri esempi
di insiemi numerabili, non tutti così intuitivi come il caso appena citato dei
numeri pari. Può sorprendere, ad esempio, che si dimostra essere numerabile
anche l’insieme Q di tutti i numeri razionali[38].
È interessante, a questo punto, osservare che, nel
passare dal finito all’infinito, alcune proprietà, che per gli insiemi finiti
sono banalmente intuitive, assumono forme diverse quantomeno controintuitive se
non addirittura paradossali.
Al
finito, ad esempio, senza ricorrere a complesse dimostrazioni ci risulta facile
accettare che qualsiasi insieme sia “più grande” di una sua qualsiasi parte[39]. Per gli insiemi infiniti, invece,
questo non è più vero.
Consideriamo
l’esempio, fatto precedentemente, dei numeri pari. Abbiamo affermato che i
numeri pari sono un insieme numerabile e quindi, per definizione, equipotente a
N. Ma è anche vero che i numeri pari sono solo una parte dei numeri interi,
cioè sono un sottoinsieme proprio di N. Quindi abbiamo indirettamente affermato
che l’insieme infinito N è equipotente ad una sua parte propria che è l’insieme
dei numeri pari.
Ebbene,
ciò non è un caso né tantomeno un errore; si tratta di una proprietà degli
insiemi infiniti che, addirittura, li caratterizza:
S
è infinito se e solo se esiste una parte propria di S equipotente ad S[40].
Ritornando, dopo questa breve parentesi sulle
proprietà controintuitive degli insiemi infiniti, a discutere dell’infinito
numerabile, è lecito chiedersi se questo è l’unico “tipo” di infinito che la
Matematica individua.
A
questo proposito è opportuno introdurre un semplice concetto di Teoria degli
Insiemi che tornerà utile in questo discorso: l’insieme delle parti.
Sia S un qualsiasi insieme[41].
Consideriamo ad esempio l’insieme delle prime tre
lettere dell’alfabeto latino:
S = {a,b,c}.
Insiemi come {a}, {a,b}, {b,c} sono sottoinsiemi (o parti) di S.
Consideriamo
ora tutti i possibili sottoinsiemi propri di S (cioè contenuti in S e
non vuoti):
{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}
e a questi aggiungiamo l’insieme vuoto 
e
lo stesso insieme S[42].
Costruiamo quindi un insieme di insiemi che
contenga tutti gli oggetti appena elencati, cioè tutte le parti proprie di
S, S stesso e l’insieme vuoto:
{,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}.
Tale insieme, per definizione, prende il nome di insieme
delle parti di S e si denota nel modo seguente:
P(S)
Introdotto
il concetto di insieme delle parti possiamo comprendere la rilevanza di un
importante risultato dovuto al matematico tedesco Georg Cantor.
Cantor dimostra che per ogni insieme S vale la
seguente relazione:
|S| < |P(S)|.
Ovvero, qualunque sia l’insieme S, l’insieme P(S)
delle parti di S ha sempre potenza[43] maggiore
della potenza di S.
Questo risultato è appunto noto in Algebra come teorema
di Cantor.
Per gli insiemi finiti il teorema di Cantor potrebbe
essere reso, in forma testuale, dicendo che l’insieme delle parti di un insieme
dato è più numeroso dell’insieme stesso. E, in un certo senso, ciò è
concettualmente abbastanza intuitivo.
Invece per gli insiemi infiniti, per i quali il concetto
stesso di numerosità perde di significato in favore di un più generico
concetto di enumerabilità e per i quali, come abbiamo
visto, valgono proprietà quantomeno singolari, il risultato enunciato non è
affatto scontato.
Bene, a questo punto vediamo in che modo questo risultato
ci aiuta a progredire nel discorso sull’infinito. Proviamo ad applicare il
teorema di Cantor al più noto e semplice degli insiemi infiniti, e cioè
l’insieme N dei numeri naturali.
Si ha:
|N| < |P(N)|.
Questo significa che l’insieme delle parti di N ha potenza
(strettamente) maggiore della potenza di N.
Ma N, lo si è osservato prima, è un insieme infinito
numerabile. Deve quindi esistere un ordine di infinito “superiore” a quello
dell’infinito numerabile e, applicando ad N il teorema di Cantor, ne otteniamo addirittura,
in forma costruttiva, un esempio.
|P(N)| è dunque un infinito “più grande”
dell’infinito numerabile.
Per convenzione quest’ordine di infinito prende il
nome di potenza del continuo e per esso vale la seguente definizione:
|P(N)| = potenza del continuo.
Senza entrare nel merito di tecnicismi matematici
osserviamo semplicemente che R, ovvero l’insieme dei numeri reali, si dimostra
avere la potenza del continuo.
9. Esiste
un ordine di infinito superiore al numerabile ed inferiore
al continuo? Questo tema è stato a lungo indagato dai matematici
ma non è stato possibile né trovare un tale ordine di infinito né dimostrare
che non possa esistere.
Cantor, in virtù dei suoi studi, considerò negativa
la risposta a questo interrogativo ma poté formularla solo in termini di
ipotesi di lavoro:
non esistono insiemi S tali che |N| < |S| <
|P(N)|.
Quest’ultima affermazione è appunto nota con il nome
di ipotesi del continuo.
Il matematico austriaco Kurt Gödel,
ricordato soprattutto per i suoi fondamentali contributi degli anni trenta del ’900
alla Logica Matematica con i suoi teoremi di incompletezza, dimostrò nel 1938 che
l’ipotesi del continuo non è contraddittoria con gli assiomi della teoria
degli insiemi[44].
Successivamente il matematico statunitense Paul Cohen, nel 1963, ne provò l’indipendenza[45].
È questa, quindi ad oggi, la risposta della
Matematica alla domanda sull’esistenza di un ordine di infinito superiore al
numerabile ed inferiore al continuo.
Ci si può allora porre anche un’altra domanda che, di
seguito, andremo ad analizzare.
10. Esiste
un ordine di infinito superiore al continuo? In questo
caso la risposta è molto più semplice: si. Basta iterare l’applicazione del
teorema di Cantor.
Ovvero, in virtù del teorema di Cantor, così come
abbiamo ottenuto un ordine di infinito superiore al numerabile semplicemente
costruendo l’insieme delle parti di un insieme numerabile (noi lo abbiamo fatto
per N) possiamo, allo stesso modo, partire da un insieme che abbia la potenza del
continuo, come ad esempio R, e considerarne il corrispondente insieme
delle parti, nel nostro caso P(R). L’insieme così ottenuto deve avere
necessariamente una potenza maggiore della potenza del continuo.
Naturalmente il processo può essere iterato indefinitamente.
Gli “infiniti” così costruiti sono oggetto di studio
di quella che prende il nome di teoria dei numeri transfiniti (cardinali
e ordinali) sviluppata da Georg Cantor.
In tale teoria il più piccolo numero transfinito è appunto la
potenza dell’infinito numerabile ed è denotato con la lettera ebraica 
(Aleph) indicizzata con il numero 0: 0 (Aleph
zero)[46].
Il successivo corrisponde alla potenza del continuo ed è
rappresentato da Aleph con indice 1: 1 (Aleph
uno).
2 (Aleph
2), per quanto detto sopra, corrisponde alla potenza dell’insieme delle
parti di R e così via, a seguire, i successivi i (Aleph
con i) esprimono ordini di infinito sempre più elevati.
11. Come la Matematica tratta l’infinito
dove semplicemente lo incontra. L’infinito è presente in
molte altre branche della Matematica come ad esempio l’Analisi, ricca di
continui riferimenti a infiniti e infinitesimi, ma, a differenza
di quanto discusso nei precedenti paragrafi, in queste discipline l’infinito
viene, per così dire, usato, trattato, gestito, più che indagato nella sua
natura.
L’Analisi Matematica studia, ad esempio, il
comportamento delle funzioni[47] ai limiti
del proprio campo di esistenza[48]. Nel
fare ciò è lo stesso concetto di limite ad essere strettamente collegato
con l’infinito, ma non lo studia, semplicemente lo impiega. Vediamo in che
senso.
Supponiamo di avere una funzione definita su tutto
R, insieme dei numeri reali. In Analisi ci si chiede cosa accade ai valori della
funzione “se ci si spinge ai confini dell’insieme R in cui la funzione è
definita” ovvero, in termini più corretti, qual è il comportamento della
funzione per x che tende all’infinito. E ci si trova, in generale[49], di
fronte a due possibilità: o la funzione converge verso un particolare
valore finito oppure i valori della funzione crescono indefinitamente e, di
conseguenza, la funzione diverge, ovvero tende anch’essa all’infinito.
Analogamente, se esiste un valore per il quale la
funzione non è definita, chiamiamolo x0 per comodità di esposizione,
ci si chiede come si comporti la funzione “avvicinandosi indefinitamente” a
quel punto, ovvero, con parole più precise, per x che tende a x0.
E anche in questo caso la funzione può convergere oppure divergere, cioè tendere
all’infinito.
Anche l’avvicinarsi indefinitamente a un valore
finito, come il tendere a x0 dell’esempio precedente, implica
l’infinito perché presuppone una proprietà topologica[50], in
questo caso di R, in base alla quale comunque si scelga un punto x prossimo a x0
esistono infiniti elementi di R fra x e x0.
Un aspetto interessante dell’Analisi Matematica è
che gli oggetti in essa studiati oltre ad essere trattati algebricamente
possono essere rappresentati graficamente ottenendone così un’interpretazione
geometrica. La Geometria Analitica è la branca della Matematica che ci
permette di “vedere” gli oggetti matematici studiati dall’Analisi. Così, ad
esempio, in questa interpretazione geometrica l’x0 di cui sopra, elemento
di R e cioè numero reale, sarà rappresentato da un punto su una retta; una
funzione, come ad esempio y = x2, sarà una curva del piano euclideo[51], e così
via.
In Geometria Analitica possiamo quindi vedere anche l’andamento
delle funzioni e il loro comportamento “al limite” nel senso precedentemente
descritto. Possiamo vedere se in un dato punto tendono all’infinito o a cosa tendono
se ci si spinge verso l’infinito.
Non possiamo però vedere l’infinito.
Anzi, di più. L’infinito, che al più si “intravede”
come tendenza al limite nelle rappresentazioni grafiche, non è rappresentabile
in Geometria Analitica e, di conseguenza, non può avere neppure una controparte
algebrica esprimibile in termini di numeri reali.
Per avere un’idea della valenza di questa
affermazione proviamo a considerare la retta che rappresenta i numeri reali R[52]. È
possibile considerare il completamento all’infinito[53] di R mediante l’aggiunta di un simbolo che
rappresenti l’infinito, tipicamente ∞; però, di fatto, su
“quest’infinito” non potremo in alcun modo operare algebricamente: ∞ non
è un numero reale!
Questo limite della Geometria Analitica viene però
superato da un’altra branca della Matematica: la Geometria Proiettiva[54].
In Geometria Proiettiva, con l’introduzione delle coordinate
omogenee[55] si riescono
a definire algebricamente, oltre ai punti propri, anche i cosiddetti punti
all’infinito che possono essere trattati, al pari dei punti propri, con
tutti gli ordinari strumenti di calcolo dell’Algebra Lineare.
Nel piano proiettivo, quindi, ogni retta è
costituita da tutti i suoi punti propri, ovvero quelli rappresentabili anche
nell’ordinaria Geometria Analitica, più un punto improprio.
Ma concettualmente cos’è il punto improprio di una
retta?
Sappiamo dalla Geometria Euclidea che due rette che
giacciono sullo stesso piano o sono parallele, e quindi “non si incontrano mai”,
oppure esiste un punto comune ad entrambe in cui le rette si incontrano[56]. Ebbene,
in Geometria Proiettiva comunque si prendano due rette del piano esse avranno
sempre un punto di intersezione. Possono però presentarsi due casi: 1) le rette
hanno in comune un punto proprio; 2) le rette hanno in comune il punto
improprio. Nel primo caso le due rette si intersecano nel senso classico della Geometria
Euclidea; nel secondo si incontrano “all’infinito” ovvero sono parallele.
Quindi se il punto improprio è comune a rette
parallele allora, concettualmente, ne esprime l’unica caratteristica che le
accomuna: la direzione. Il punto improprio di una retta è quindi la direzione
rispetto alla quale la retta “si prolunga verso l’infinito”.
Naturalmente rette fra loro non parallele hanno
punti impropri distinti. Di conseguenza le infinite rette del piano a due a due
non parallele[57] hanno
infiniti punti impropri distinti. L’insieme di tutti i punti impropri del piano
proiettivo costituisce la cosiddetta retta impropria. Ovvero, in un
certo senso, quello che potremmo descrivere come “l’insieme di tutte le
direzioni in cui è possibile andare verso l’infinito” nel piano.
12. Ambiti in cui l’infinito lo si
incontra come concetto implicito a priori piuttosto che come oggetto matematico
da indagare. Esistono poi intere branche della Matematica che non si occupano affatto
dell’infinito, nel senso che non lo trattano né tantomeno lo definiscono, ma
nelle quali l’infinito vi compare come concetto a priori, ovvero qualcosa che
esiste a prescindere dagli oggetti matematici indagati in quella specifica
disciplina.
Per illustrare questo tipo di circostanza un esempio
per tutti, a nostro avviso efficace allo scopo, è l’halting
problem.
Per poterlo illustrare è però necessario
contestualizzarlo con qualche breve cenno introduttivo.
L’ambito al quale si fa riferimento è la Teoria
della Calcolabilità, ovvero quella branca della Matematica che studia le funzioni
effettivamente calcolabili, ovvero le funzioni i cui valori siano calcolabili
mediante un algoritmo[58].
Il problema in questione, ovvero l’halting problem anche noto in italiano col
nome di problema della fermata, è un problema di decisione[59] che
riguarda le funzioni effettivamente calcolabili. Più specificamente gli algoritmi
ad esse associati e l’evenienza che, in corrispondenza di particolari valori in
input, il calcolo possa non terminare con un risultato.
L’halting
problem può essere così formulato: è possibile trovare un algoritmo che,
dato l’algoritmo di una qualsiasi funzione effettivamente calcolabile e dato un
suo qualsiasi input, permetta di sapere in un numero finito di passi se per
quel dato input l’algoritmo della funzione arriverà o meno a produrre un
risultato?
Ebbene si dimostra che un simile algoritmo non esiste,
ovvero l’halting problem è un problema indecidibile[60].
Si comprende come questo problema e il risultato
relativo alla sua decidibilità, oltre ad un’intrinseca importanza teorica,
abbiano anche grande rilevanza pratica se si pensa alle implicazioni in programmazione
informatica.
Ma dal nostro punto di vista ciò che importa è un
altro aspetto.
La domanda da porsi è: per quale motivo ha senso
un simile problema di decisione?
La risposta è: perché l’evenienza che un calcolo non
termini sussiste realmente.
E questo equivale a dire che alcuni algoritmi, con
alcuni valori in input, realmente non riescono a terminare e, pertanto, continuano
all’infinito.
Compare quindi, in Teoria della Calcolabilità, un infinito
che, a differenza di quanto discusso nei paragrafi precedenti, non è un oggetto
matematico ma un’evenienza concreta della vita reale: l’esecutore
dell’algoritmo (a meno di interventi esterni all’algoritmo stesso) non può più fermarsi
e continua il calcolo indefinitamente senza mai raggiungere un passo finale.
Ovvero, in questo senso, all’infinito.
13. Considerazioni
Conclusive. Per gli antichi l’infinito era una realtà che si
imponeva alla riflessione; per i moderni, soprattutto da Kant in poi, l’infinito
è un oggetto mentale che pone al soggetto dei problemi logici. I Greci,
coerentemente con la loro cultura caratterizzata dalla pluralità di dei
immortali, concepirono un numero illimitato di infiniti; nel pensiero
occidentale cristiano l’infinito è unico, è vicino al concetto di assoluto e
costituisce un attributo esclusivo di Dio. In seno al sapere matematico si conserva
attraverso i secoli la nozione operativa, e non filosofica in senso stretto, di
infinito adottata dai Greci.
All’alba del ventesimo secolo matura nella coscienza
dei matematici la consapevolezza che, quel concetto da loro sempre impiegato
nel suo senso intuitivo e declinato operativamente secondo i principi delle
singole branche disciplinari, richiedeva un approfondimento teorico.
David Hilbert, impegnato nel trovare una
dimostrazione della coerenza degli assiomi dell’aritmetica fin dal Congresso di
Parigi del 1900[61], è
considerato uno dei grandi promotori di questo studio. Nella sua conferenza Sull’infinito
del 1925, dopo aver riconosciuto grande valore all’opera di Weierstrass,
osserva che ha anche suscitato critiche e dispute: “Tali dispute non sono
cessate perché il significato dell’infinito, nel senso in cui tale
concetto è usato in matematica, non è mai stato chiarito completamente”[62]. E,
nella stessa conferenza, non è tenero con i colleghi: “Leggendo attentamente ci
si accorge che la letteratura matematica è piena di sciocchezze e di assurdità,
la cui origine va ricercata nell’infinito. Per esempio alcuni sostengono, come
fosse una condizione restrittiva, che in una matematica rigorosa sono
ammissibili solo dimostrazioni con un numero finito di deduzioni. Come se
si fosse mai riusciti ad effettuare dimostrazioni con un numero infinito di
deduzioni!”[63].
Hilbert, con la sua spinta propulsiva, contribuì molto
a promuovere lo studio che portò agli approdi di Kurt Gödel
e Paul Cohen, di cui si è detto, anche se non si è mai giunti a quella chiarificazione
definitiva della natura dell’infinito – da lui auspicata e da noi riportata
in esergo – semplicemente perché non si è rivelata possibile. Infatti, non trattandosi
di un oggetto materiale o di un fenomeno di cui si possa fare esperienza
sensoriale, ma rimanendo un concetto al limite noumenico kantiano, non possiamo
attenderci la “scoperta della vera natura dell’infinito”, ma solo progressivi
miglioramenti e precisazioni nella formulazione del concetto. Non è solo
utilmente pragmatico, ma è anche realisticamente opportuno identificare l’attuale
campo di conoscenza dell’infinito in matematica con i risultati prodotti dallo
studio e dall’impiego del concetto nelle sue varie branche disciplinari, come abbiamo
scelto di fare noi in questo saggio e raccomandato già quarantadue anni fa da Dieudonné[64]. Anche
se poi, lo stesso Dieudonné, rivelava la sua insoddisfazione
per lo stato della conoscenza quando dichiarava: “Ciò significa che non
abbiamo, in realtà, alcuna idea dell’infinito”[65].
In realtà il matematico francese, rappresentando l’opinione
di molti suoi colleghi, rivela il non sopito intento di approdare a una definizione
univoca e precisa dell’infinito attraverso il rigore del mathema. Ma trascura
la questione nodale già affrontata dagli antichi: il concetto di infinito
racchiude in sé quello di inconoscibile, e tale evidenza ha portato ai
due possibili approcci che abbiamo discusso, ossia quello dell’identificazione
con la dimensione trascendente, unica e assoluta del divino cristiano, e quello
della qualità relativa di interminabile posseduta da numerosi soggetti e
oggetti di natura diversa, come nelle teorie di filosofi e matematici greci. In
altri termini, per soddisfare l’aspirazione di Dieudonné
sarebbe necessario modificare il concetto stesso di infinito, declassando l’inconoscibile
a non conosciuto, ma in tal modo si rischierebbe di confondere l’infinito con l’indefinito.
Lo studio dell’infinito in matematica negli ultimi
decenni ha portato alla luce numerosi problemi e questioni dibattute, emergenti
come difficoltà rivelate dagli approdi di ragionamento all’interno dei procedimenti
specialistici delle particolari branche disciplinari, e difficilmente
traducibili in linguaggio comune senza correre il rischio di snaturarne il senso.
Per evitare tale rischio non siamo entrati nel merito dei dibattiti, e abbiamo
concepito questo breve saggio cercando di cogliere alcuni aspetti salienti dell’evoluzione
diacronica di un concetto e fornendo nozioni, che speriamo possano introdurre alle
questioni sollevate dallo studio dell’infinito con metodi matematici. E, d’altra
parte, non saremmo potuti andare oltre un’introduzione, in quanto ci rivolgiamo
in primo luogo a studiosi, docenti e discenti di discipline dedicate alla conoscenza
del cervello e della mente, presumibilmente di buone letture filosofiche, ma
non necessariamente in possesso di una formazione matematica universitaria. Saremo
tuttavia lieti di proporre degli approfondimenti teorici, se avremo riscontri e
richieste in tal senso.
Gli autori della nota ringraziano la dottoressa Isabella
Floriani per la correzione della bozza e invitano alla lettura di scritti di argomento connesso che appaiono
nella sezione “NOTE E NOTIZIE” del sito (utilizzare il motore interno nella pagina
“CERCA”).
Patrizio Perrella
& Giuseppe Perrella
BM&L-17 settembre 2022
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